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人类用文字、图表、数字表达和记录着世界上各种各样的信息，便于人们用来处理和交流。现在可以把这些信息都输入到计算机中，由计算机来保存和处理。前面提到，当代冯·诺依曼型计算机都使用二进制来表示数据，本节所要讨论的就是用二进制来表示这些 数据。
经过收集、整理和组织起来的数据，能成为有用的信息。数据是指能够输入计算机并被计算机处理的数字、字母和符号的集合。平常所看到的景象和听到的事实，都可以用数据来描述。可以说，只要计算机能够接受的信息都可叫数据。
计算机数据的表示经常用到以下几个概念。在计算机内部，数据都是以二进制的形式存储和运算的。
（1）位
二进制数据中的一个位（bit）简写为b，音译为比特，是计算机存储数据的zui小单位。一个二进制位只能表示0或1两种状态，要表示更多的信息，就要把多个位组合成一个整体，一般以8位二进制组成一个基本单位。
（2）字节
字节是计算机数据处理的zui基本单位，并主要以字节为单位解释信息。字节（Byte）简记为B，规定一个字节为8位，即1B=8bit。每个字节由8个二进制位组成。一般情况下，一个ASCII码占用一个字节，一个汉字国际码占用两个字节。
（3）字
一个字通常由一个或若干个字节组成。字（Word）是计算机进行数据处理时，一次存取、加工和传送的数据长度。由于字长是计算机一次所能处理信息的实际位数，所以，它决定了计算机数据处理的速度，是衡量计算机性能的一个重要指标，字长越长，性能越好。
（4）数据的换算关系
1Byte=8bit，1KB=1024B，1MB=1024KB，1GB=1024MB。
计算机型号不同，其字长是不同的，常用的字长有8、16、32和64位。一般情况下，IBM PC/XT的字长为8位，80286微机字长为16位，80386/80486微机字长为32位，Pentium系列微机字长为64位。
例如，一台微机，内存为256MB，软盘容量为1.44MB，硬盘容量为80GB，则它实际的存储字节数分别为：
内存容量=256×1024×1024B=268435456B
软盘容量=1.44×1024×1024B=1509949.44B
硬盘容量=80×1024×1024×1024B=85899345920B
如何表示正负和大小，在计算机中采用什么计数制，是学习计算机的一个重要问题。数据是计算机处理的对象，在计算机内部，各种信息都必须通过数字化编码后才能进行存储和处理。
由于技术原因，计算机内部一律采用二进制，而人们在编程中经常使用十进制，有时为了方便还采用八进制和十六进制。理解不同计数制及其相互转换是非常重要的。
在计算机中，二进制并不符合人们的习惯，但是计算机内部却采用二进制表示信息，其主要原因有如下4点：
（1）电路简单
在计算机中，若采用十进制，则要求处理10种电路状态，相对于两种状态的电路来说，是很复杂的。而用二进制表示，则逻辑电路的通、断只有两个状态。例如：开关的接通与断开，电平的高与低等。这两种状态正好用二进制的0和1来表示。
（2）工作可靠
在计算机中，用两个状态代表两个数据，数字传输和处理方便、简单、不容易出错，因而电路更加可靠。
（3）简化运算
在计算机中，二进制运算法则很简单。例如：相加减的速度快，求积规则有3个，求和规则也只有3个。
（4）逻辑性强
二进制只有两个数码，正好代表逻辑代数中的“真”与“假”，而计算机工作原理是建立在逻辑运算基础上的，逻辑代数是逻辑运算的理论依据。用二进制计算具有很强的逻 辑性。
用若干数位（由数码表示）的组合去表示一个数，各个数位之间是什么关系，即逢“几”进位，这就是进位计数制的问题。也就是数制问题。数制，即进位计数制，是人们利用数字符号按进位原则进行数据大小计算的方法。通常是以十进制来进行计算的。另外，还有二进制、八进制和十六进制等。
在计算机的数制中，要掌握3个概念，即数码、基数和位权。下面简单地介绍这3个概念。
数码：一个数制中表示基本数值大小的不同数字符号。例如，八进制有8个数码：0、1、2、3、4、5、6、7。
基数：一个数值所使用数码的个数。例如，八进制的基数为8，二进制的基数为2。
位权：一个数值中某一位上的1所表示数值的大小。例如，八进制的123，1的位权是64，2的位权是8，3的位权是1。
十进制的特点如下：
（1）有10个数码：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。
（2）基数：10。
（3）逢十进一（加法运算），借一当十（减法运算）。
（4）按权展开式。对于任意一个n位整数和m位小数的十进制数D，均可按权展 开为：
D=Dn-1·10n-1＋Dn-2·10n-2＋…＋D1·101＋D 0·10 0＋D -1·10 –1＋…＋D –m·10 –m
例：将十进制数456.24写成按权展开式形式为：
456.24=4×10 2＋5×101＋6×100＋2×10-1＋4×10-2
二进制有如下特点：
（1）有两个数码：0、1。
（2）基数：2。
（3）逢二进一（加法运算），借一当二（减法运算）。
（4）按权展开式。对于任意一个n位整数和m位小数的二进制数D，均可按权展 开为：
D=Bn-1·2n-1＋Bn-2·2n-2＋…＋B1·21＋B0·20＋B-1·2–1＋…＋B–m·2-m
例：把（11001.101）2写成展开式，它表示的十进制数为：
1×2 4＋1×2 3＋0×22＋0×21＋1×20＋1×2-1＋0×2-2＋1×2-3=（25.625）10
八进制的特点如下：
（1）有8个数码：0、1、2、3、4、5、6、7。
（2）基数：8。
（3）逢八进一（加法运算），借一当八（减法运算）。
（4）按权展开式。对于任意一个n位整数和m位小数的八进制数D，均可按权展 开为：
D=On-1·8n-1＋…＋O1·81＋O0·80＋O-1·8 –1＋…＋O–m·8-m
例：（5346）8相当于十进制数为：
5×83＋3×82＋4×81＋6×80＝（2790）10
十六进制有如下特点：
（1）有16个数码：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F。
（2）基数：16。
（3）逢十六进一（加法运算），借一当十六（减法运算）。
（4）按权展开式。对于任意一n位整数和m位小数的十六进制数Ｄ，均可按权展 开为：
D=Hn-1·16n-1＋…＋H1·161＋H 0·16 0＋H -1·16 –1＋…＋H –m·16 -m
在16个数码中，A、B、C、D、E和F这6个数码分别代表十进制的10、11、12、13、14和15，这是国际上通用的表示法。
例：十六进制数（4C4D）16代表的十进制数为：
4×163＋C×16 2＋4×161＋D×160=（19533）10
二进制数与其他数之间的对应关系如表1-1所示。
表1-1 几种常用进制之间的对照关系
|
十 进 制 |
二 进 制 |
八 进 制 |
十 六 进 制 |
|
0 |
0000 |
0 |
0 |
|
1 |
0001 |
1 |
1 |
|
2 |
0010 |
2 |
2 |
|
3 |
0011 |
3 |
3 |
|
4 |
0100 |
4 |
4 |
|
5 |
0101 |
5 |
5 |
|
6 |
0110 |
6 |
6 |
|
7 |
0111 |
7 |
7 |
|
8 |
1000 |
10 |
8 |
|
9 |
1001 |
11 |
9 |
|
10 |
1010 |
12 |
A |
|
11 |
1011 |
13 |
B |
|
12 |
1100 |
14 |
C |
|
13 |
1101 |
15 |
D |
|
14 |
1110 |
16 |
E |
|
15 |
1111 |
17 |
F |
不同数进制之间进行转换应遵循转换原则。转换原则是：两个有理数如果相等，则有理数的整数部分和分数部分一定分别相等。也就是说，若转换前两数相等，转换后仍必须相等，数制的转换要遵循一定的规律。
（1）二进制数转换成十进制数
将二进制数转换成十进制数，只要将二进制数用计数制通用形式表示出来，计算出结果，便得到相应的十进制数。
例：（1101100.111）2=1×26＋1×25＋1×23＋1×22＋1×2-1＋1×2-2＋1×2-3
=64＋32＋8＋4＋0.5＋0.25＋0.125
=（108.875）10
（2）八进制数转换为十进制数
八进制数→十进制数：以8为基数按权展开并相加。
例：把（652.34）8转换成十进制。
解：（652.34）8=6×82＋5×81＋2×80＋3×8-1＋4×8-2
=384＋40＋2＋0.375＋0.0625
=（426.4375）10
（3）十六进制数转换为十进制数
十六进制数→十进制数：以16为基数按权展开并相加。
例：将（19BC.8）16转换成十进制数。
解：（19BC.8）16=1×163＋9×162＋B×161＋C×160＋8×16-1
=4096＋2304＋176＋12＋0.5
=（6588.5）10
（1）整数部分的转换
整数部分的转换采用的是除2取余法。其转换原则是：将该十进制数除以2，得到一个商和余数（K0），再将商除以2，又得到一个新商和余数（K1），如此反复，得到的商是0时得到余数（Kn-1），然后将所得到的各位余数，以zui后余数为zui高位，zui初余数为zui低位依次排列，即Kn-1Kn-2…K1K0，这就是该十进制数对应的二进制数。这种方法又称为“倒 序法”。
例：将（126）10转换成二进制数。
结果为：（126）10＝（1111110）2
（2）小数部分的转换
小数部分的转换采用乘2取整法。其转换原则是：将十进制数的小数乘以2，取乘积中的整数部分作为相应二进制数小数点后zui高位K-1，反复乘2，逐次得到K-2、K-3、…、K-m，直到乘积的小数部分为0或1的位数达到精确度要求为止。然后把每次乘积的整数部分由上而下依次排列起来（K-1K-2…K-m），即是所求的二进制数。这种方法又称为“顺序法”。
例：将十进制数（0.534）10转换成相应的二进制数。
结果为：（0.534）10＝（0.10001）2
例：将（50.25）10转换成二进制数。
分析：对于这种既有整数又有小数部分的十进制数，可将其整数和小数分别转换成二进制数，然后再把两者连接起来即可。
因为（50）10=（110010）2，（0.25）10=（0.01）2
所以（50.25）10＝（110010.01）2
（1）八进制转换为二进制数
八进制数转换成二进制数所使用的转换原则是“一位拆三位”，即把一位八进制数对应于三位二进制数，然后按顺序连接即可。
例：将（64.54）8转换为二进制数。
6 4 . 5 4
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
110 100 . 101 100
结果为：（64.54）8＝（110100.101100）2
（2）二进制数转换成八进制数
二进制数转换成八进制数可概括为“三位并一位”，即从小数点开始向左右两边以每三位为一组，不足三位时补0，然后每组改成等值的一位八进制数即可。
例：将（110111.11011）2转换成八进制数。
110 111 . 110 110
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
6 7 . 6 6
结果为：（110111.11011）2＝（67.66）8
（1）二进制数转换成十六进制数
二进制数转换成十六进制数的转换原则是“四位并一位”，即以小数点为界，整数部分从右向左每4位为一组，若zui后一组不足4位，则在zui高位前面添0补足4位，然后从左边第yi组起，将每组中的二进制数按权数相加得到对应的十六进制数，并依次写出即可；小数部分从左向右每4位为一组，zui后一组不足4位时，尾部用0补足4位，然后按顺序写出每组二进制数对应的十六进制数。
例：将（1111101100.0001101）2转换成十六进制数。
0011 1110 1100 . 0001 1010
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
3 E C . 1 A
结果为：（1111101100.0001101）2＝（3EC.1A）16
（2）十六进制数转换成二进制数
十六进制数转换成二进制数的转换原则是“一位拆四位”，即把1位十六进制数写成对应的4位二进制数，然后按顺序连接即可。
例：将（C41.BA7）16转换为二进制数。
C 4 1 . B A 7
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
1100 0100 0001 . 1011 1010 0111
结果为：（C41.BA7）16＝（110001000001.101110100111）2
在程序设计中，为了区分不同进制，常在数字后加一英文字母作为后缀以示区别。
l 十进制数，在数字后面加字母D或不加字母也可以，如6659D或6659。
l 二进制数，在数字后面加字母B，如1101101B。
l 八进制数，在数字后面加字母O，如1275O。
l 十六进制数，在数字后面加字母H，如CFE7BH。
二进制数的运算包括算术运算和逻辑运算。
二进制数的算术运算包括加法、减法、乘法和除法运算。
（1）二进制数的加法运算
二进制数的加法运算法则是：0＋0＝0，0＋1＝1＋0＝1，1＋1＝10（向高位进位）。
例：求（101101.10001）2＋（1011.11001）2的值。
解： 1 0 1 1 0 1 . 1 0 0 0 1
＋ 1 0 1 1 . 1 1 0 0 1
1 1 1 0 0 1 . 0 1 0 1 1
结果为：（101101.10001）2＋（1011.11001）2 =（111001.01011）2
总结：从以上加法的过程可知，当两个二进制数相加时，每一位是3个数相加，对本位则是把被加数、加数和来自低位的进位相加（进位可能是0，也可能是1）。
（2）二进制数的减法运算
二进制数的减法运算法则是：0－0＝1－1＝0，1－0＝1，0－1＝1（借1当二）。
例：求（110000.11）2－（001011.01）2的值。
解： 1 1 0 0 0 0 . 1 1
－ 0 0 1 0 1 1 . 0 1
1 0 0 1 0 1 . 1 0
结果为：（110000.11）2－（001011.01）2＝（100101.10）2
总结：从以上运算过程可知，当两数相减时，有的位会发生不够减的情况，要向相邻的高位借1当2。所以，在做减法时，除了每位相减外，还要考虑借位情况，实际上每位有3个数参加运算。
（3）二进制数的乘法运算
二进制数的乘法运算法则是：0×0＝0，0×1＝1×0＝0，1×1＝1。
例：求（1010）2×（1011）2的值。
解： 1 0 1 0
× 1 0 1 1
1 0 1 0
1 0 1 0
0 0 0 0
＋ 1 0 1 0
1 1 0 1 1 1 0
结果为：（1010）2×（1011）2＝（1101110）2
总结：由以上运算过程可知，当两数相乘时，每个部分积都取决于乘数。乘数的相应位为1时，该次的部分积等于被乘数；为0时，部分积为0。每次的部分积依次左移一位，将各部分积累起来，就得到了zui终结果。
（4）二进制数的除法运算
二进制数除法运算规则是：0÷0＝0，0÷1＝0（1÷0无意义），1÷1＝1。
例：求（111101）2÷（1100）2的值。
解： 1 0 1
1100√ 1 1 1 1 0 1
－ 1 1 0 0
1 1 0 1
－ 1 1 0 0
1
结果为：商为101，余数为1。
总结：在计算机内部，二进制的加法是基本运算，利用加法可以实现二进制数的减法、乘法和除法运算。在计算机的运算过程中，应用了“补码”进行运算。
在计算机中，除了能表示正负、大小的“数量数”以及相应的加、减、乘、除等基本算术运算外，还能表示事物逻辑判断，即“真”、“假”、“是”、“非”等“逻辑数”的运算。能表示这种数的变量称为逻辑变量。在逻辑运算中，都是用“1”或“0”来表示“真”或“假”，由此可见，逻辑运算是以二进制数为基础的。
计算机的逻辑运算区别于算术运算的主要特点是：逻辑运算是按位进行的，位与位之间不像加减运算那么有进位或借位的关系。
逻辑运算主要包括的运算有：逻辑加法（又称“或”运算）、逻辑乘法（又称“与”运算）和逻辑“非”运算。此外，还有“异或”运算。
（1）逻辑与运算（乘法运算）
逻辑与运算常用符号“×”、“∧”或“&”来表示。如果A、B、C为逻辑变量，则A和B的逻辑与可表示成A×B=C、A∧B=Ｃ或A&B=C，读作“A与B等于C”。一位二进制数的逻辑与运算规则如表1-2所示。
表1-2 与运算规则
|
A |
B |
A∧B（C） |
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
由表1-2可知，逻辑与运算表示只有当参与运算的逻辑变量都取值为1时，其逻辑乘积才等于1，即一假必假，两真才真。
这种逻辑与运算在实际生活中有许多应用，例如，计算机的电源要想接通，必须把实验室的电源总闸、USP电源开关以及计算机机箱的电源开关都接通才行。这些开关是串在一起的，它们按照“与”逻辑接通。为了书写方便，逻辑与运算的符号可以略去不写（在不致混淆的情况下），即A×B=A∧B=AB。
例：设A＝1110011，B＝1010101，求A∧B。
解：
1 1 1 0 0 1 1
∧ 1 0 1 0 1 0 1
1 0 1 0 0 0 1
结果为：A∧B＝1010001。
（2）逻辑或运算（加法运算）
逻辑或运算通常用符号“＋”或“ ”来表示。如果A、B、C为逻辑变量，则A和B的逻辑或可表示成A＋B=C或A B=C，读作“A或B等于C”。其运算规则如表1-3 所示。
表1-3 或运算规则
|
A |
B |
A V B（C） |
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
由表1-3可知，逻辑或运算是：在给定的逻辑变量中，A或B只要有一个为1，其逻辑或的值为1；只有当两者都为0，逻辑或才为0。即一真必真，两假才假。
这种逻辑或运算在实际生活中有许多应用，例如，房间里有一盏灯，装了两个开关，这两个开关是并联的。显然，任何一个开关接通或两个开关同时接通，电灯都会亮。
例：设Ａ＝11001110，B=10011011，求A B。
解： 1 1 0 0 1 1 1 0
＋ 1 0 0 1 1 0 1 1
1 1 0 1 1 1 1 1
结果为：A B＝11011111。
（3）逻辑非运算（逻辑否定、逻辑求反）
设A为逻辑变量，则A的逻辑非运算记作 。逻辑非运算的规则为：如果不是0，则惟一的可能性就是1；反之亦然。逻辑非运算的真值表如表1-4所示。
表1-4 非运算规则
|
A |
|
|
0 |
1 |
|
1 |
0 |
例如，室内的电灯，不是亮，就是灭，只有两种可能性。
例：设A＝111011001，B=110111101，求 、 。
解： ＝000100110， ＝001000010。
（4）逻辑异或运算（半加运算）
逻辑异或运算符为“ ”。如果A、B、C为逻辑变量，则A和Ｂ的逻辑异或可表示成A B＝C，读作“A异或B等于C”。逻辑异或的运算规则如表1-5所示。
表1-5 逻辑异或的运算规则
|
A |
B |
A B（C） |
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
由表1-5可知，在给定的两个逻辑变量中，只有两个逻辑变量取值相同，异或运算的结果就为0；只有相异时，结果才为1。即一样时为0，不一样才为1。
例：设A＝11010011，B＝10110111，求A B。
解： 1 1 0 1 0 0 1 1
1 0 1 1 0 1 1 1
0 1 1 0 0 1 0 0
结果为：A B＝01100100。
当两个变量之间进行逻辑运算时，只在对应位之间按上述规律进行逻辑运算，不同位之间没有任何关系，当然，也就不存在算术运算中的进位或借位问题。
尚邦公考
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